概率论复习(3)

2016-04-25

二维随机变量及其分布

3.1 二维随机变量及其分布
3.2 条件分布与随机变量的独立性
3.3 二维随机变量函数的分布

3.1 二维随机变量

定义：样本空间为S，ω为S的样本点，X=X(ω), Y = Y(ω),称（X，Y）为定义在S上的二维随机变量

二维随机变量的分布函数：

F（x,y） = P{（X<=x）∩(Y<=y)} 
记作：     P{X<=x,Y<=y}
F(x,y)称为(x,y)的联合分布函数

则P{x1<X<x2,y1<Y<y2}
=F (x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)

边缘分布函数

可由F(x,y)导出X和Y各自的分布函数FX(x)和FY(y)
FX(x)= P {X<=x} = P{X<=x,Y<+∞}
FY(y)= P {Y<=y} = P{Y<=y,X<+∞}

联合分布函数的性质

0<=F(x,y)<=1
对任意固定的y，F（-∞，y)=0
对任意固定的x  F（x,-∞)=0
F（-∞，-∞）=0，F（+∞，+∞）=1
F（x,y)关于x和y都为单调非减函数

二维离散型随机变量及其概率分布

定义：若(X,Y)只取有限个或可数个值，则称(X,Y)为二维离散型随机变量

若(X,Y)的所有可能的取值为(i,j=1,2…) 则称P{X=xi,Y=yj} = pij 为二维随机变量的概率分布或联合概率分布

边缘概率分布：

由X和Y的概率分布，可求出X，Y各自概率分布：

Pi* = P{X=xi} = ∑j Pij i=1,2,3,...
P*j = P{Y=yj} = ∑i Pij j=1,2,3....

分别称pi 和pj为(X,Y)关于X和Y的边缘概率分布。

二维连续型随机变量及其概率密度

定义：（X，Y）为二维随机变量，F（x,y）为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使其对任意实数x,y有

F(x,y) = ∫-∞->x ∫ -∞->y f(s,t)dsdt

则称(X,Y)为二维连续型变量，并称f(x,y)为（X，Y）的概率密度

概率密度函数性质：

f(x,y)>=0
∫-∞->+∞ ∫-∞->+∞ f(x,y)dxdy = F(+∞,+∞) = 1
设D是xOy平面上的区域，点（X，Y）落入D内的概率：

P{(x,y)∈D } = ∫∫D f(x,y) dxdy

边缘密度函数

fX(x) = ∫-∞->+∞ f(x,y)dy
fY(y) = ∫-∞->+∞ f(x,y)dx

二维均匀分布

设G是平面上的有界区域，面积为A，若二维随机变量（X，Y）具有

f(x,y) =  1/A  （x,y)∈ G
            0     其他

则称（X，Y）在G上服从均匀分布。

注：容易得到服从矩形区域a<=x<=b,c<=y<=d的均匀分布两个（X，Y）的两个边缘分布仍为均匀分布，且分别为：

fx(x) =  1/(b-a) a<=x<=b
            0        其他

fy(y) =  1/(d-c) c<=y<=d
            0        其他

二维正态分布

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3.2条件分布于随机变量的独立性

概念：

设X是一个随机变量，其分布函数为FX(x) = P{X<=x} ,-∞<x<+∞
若有事件A已经发生，并且A的发生可能对事件{X<=x}发生的概率产生影响，
记 F(x|A) = P{X<=x|A}, -∞<x<+∞
称为在A的条件下，X的条件分布函数

按照定义，有：

F（x|A） = P {X<=x,A} /P{A}

随机变量的独立性

设随即变量（X，Y）的联合分布函数为F（x,y),边缘分布函数为Fx(x),Fy（y),若对任意实数x,y,有

P{X<=x,Y<=y} = P{X<=x}P{Y<=y}
则称X和Y相互独立

定理2： 若X与Y相互独立，咋对任意函数g1(x),g2(y)均有g1(x),g2(y)相互独立

离散型随机变量的条件分布于独立性

其概率分布为：

P{X=xi,Y=yj} = pij
则由条件概率公式，当P{Y=yj}>0时，有
P{X=xi|Y=yj} = P{X=xi,Y=yj} /P{Y=yj} = Pij/P*j
称其为Y=yj条件下随机变量X的条件概率分布

定义： 若对(X,Y)的所有可能取值(xi,yj)有

P{xi，Y=yj} = P{X=xi}P{Y=yj}
pij = pi*P*j

连续型随机变量的条件密度与独立性

定义：设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y),边缘概率密度为fx(x),fy(y),则对一切使fx(x)>0的x，定义在X=x的条件下Y的条件密度函数为

fY|X(Y|X) = f(x,y)/fx(x).

反之同理

定义：对于(X,Y),f(x,y)为其联合概率密度.fX(x)，fY(y)分别为X与Y的边缘概率密度，若对任意x,y,有：

f(x,y) = fX(x)fY(y)

则称X，Y相互独立

3.3二维随机变量函数的分布

离散型随机变量的函数的分布

设（X，Y）是二维离散型随机变量，g(x,y)是一个二元函数，则g(X,Y)作为(X,Y)的函数是一个随机变量，如果(X,Y)的概率分布：
    P{X=xi,Y=yj} = pij
设Z = g(X,Y) 的所有可能取值为zk,则Z的概率分布为：
P{Z=zk} = P{g(X,Y)=zk} = ∑(xi,yj)=zk P{X=xi，Y=yj}

例如，若X，Y独立，且P{X=k}=ak,P{Y=k}=bk, k =0,1,2…

则Z=X+Y的概率分布为：

P{Z=r} = P{X+Y+r} = ∑i=0->r P{X=i,Y=r-i} = ∑i=0->r P{X=i}P{Y=j}

= aobr+a1br-1+..arb0=

P{Z=r}=∑i=0->r aibr-i
这个公式为离散型卷积公式

连续型随机变量的函数的分布

设（X，Y）是二维连续型随机变量，其概率密度函数为f(x,y),令g(x,y)为一个二元函数，则g(X,Y)是（X，Y）的函数

令Z=g(x,y),分布函数FZ(z）:

FZ(z) = P{Z<=z} = P{g(X,Y)<=z} = P{(X,Y)∈DZ} = ∫∫DZf(x,y)dxdy
其中Dz = {(x,y)|g(x,y)<=z}
其概率密度函数则为：
    fz(z) = FZ‘(z)

当Z=X+Y

设(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度函数为f(x,y),求Z=X+Y的概率密度函数
当X和Y独立式，设边缘密度函数为fX(x),fY(y)
则 fZ(z) = ∫-∞->+∞ fx(z-y)fy(y)dy
或 fZ(z) = ∫-∞->+∞ fy(z-x)fx(x)dx

以上两个公式称为卷积公式